角平分线性质定理的多种证明方法

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亲爱的同学们、老师们

愿大家“新”装上阵  “心”?#32769;?#33635;

角平分线性质定理的多种证明方法

如图,已知△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D

求证:AB:AC=BD:CD

01构造8字形相似图形

如图:过点B作BE//AC交AD延长线于点E.

此处基本模型:角平分线+//可得等腰三角形.

显然AB:AC=BE:AC=BD:DC.

02构造A字型相似

如图:过点D作DE//AC交AB于点E

∵DE//AC

∴DE:AC=BE:AB

即有AB:AC=BE:DE

又BE:DE=BE:AE=BD:CD

∴AB:AC=BD:CD

还可以如下构造A字形,如图所示

过点C作CG//BA交BA延长线于点G.

显然有BD:CD=BA:AG=AB:AC

我们不难发现,通过添加平行线,我们?#21152;?#21040;了“角平分线+//得等腰三角形”这一基?#23601;?#24418;.

03构造相似三角形

如下图所示:以点B为圆心,BD为半径作弧交AD延长线于点E,联结BE.

显然有△ABE∽△ACD

∴AB:AC=BE:CD=BD:CD.

04利?#33804;?#35282;三角比

如下图所示:作CE⊥AD,BF⊥AC,垂足分别为E、F.

由tan∠BAF=tan∠CAE可知

BF:AB=CE:AC,即有AB:AC=BF:CE

由sin∠BDF=sin∠EDC可知

BF:BD=EC:CD,即有BF:CE=BD:CD

∴AB:AC=BD:CD

(此处当然?#37096;?#20197;用相似三角形对应边成比例解决)

05将线段比转化成面积比

如下图所示:过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F.

∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC

∴DE=DF

∴S△ABD:S△ACD=AB:AC

又∵S△ABD:S△ACD=BD:CD(等高

∴AB:AC=BD:CD

06 正弦定理(拓展)

知识链接:

正弦定理:在△ABC中,

a:sinA=b:sinB=c:sinC=2R(其中R为△ABC外接圆半径)

证明如下:

步骤1

在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB这个算等腰三角形的面积为X。

CH=b·sinA

因为a·sinB=b·sinA

得到

a/sinA=b/sinB

同理,在△ABC中,

b/sinB=c/sinC

步骤2

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:

如图,?#25105;?#19977;角形ABC,作ABC的外接圆O.

作?#26412;禕D交⊙O于D.

连接DA.

因为在同?#19981;?#31561;圆中?#26412;端?#23545;的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为在同?#19981;?#31561;圆中同弧所对的圆周角相等或?#24618;?#30456;等,所以∠D等于∠ACB.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等?#20581;?/p>

回归本题】:如下图所示:

在△ABD中,BD:sin∠BAD=AB:sin∠ADB

即有  BD:AB=sin∠BAD:sin∠ADB

在△ADC中,CD:sin∠CAD=AC:sin∠ADC

即有  CD:AC=sin∠CAD:sin∠ADC

∵∠BAD=∠CAD,∠ADB+∠ADC=180°

∴sin∠BAD=sin∠CAD,sin∠ADB=sin∠ADC

∴BD:AB=CD:AC

∴AB:AC=BD:CD.

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